Principes didactiques et pédagogiques

Introduction

L'objet de ce document est de proposer un ensemble de situations dont l'enjeu didactique est de permettre à l'élève de cycle 2 de construire le concept de fraction simple. Afin de répondre aux programmes de 2025, nous avons engagé un groupe d'enseignants et testé des situations dans des classes d'enseignants participant à ce groupe ainsi que dans d'autres classes ou les enseignants ont accepté de tester les situations avec nous.

Nous avons gardé les mêmes fondements didactiques et pédagogiques que ceux du cycle 3. L'enjeu a été de rendre cette proposition pour le cycle 2 utile et acceptable pour les élèves dans leurs apprentissages et les enseignants de cycle 2 dans leur enseignement.

Pourquoi est-il indispensable de commencer par un travail avec des bandes ?

(Alors qu'il est tellement moins coûteux pour l'enseignant de prendre directement les disques). Les élèves doivent construire le concept de fraction, comme ils doivent construire la numération et le groupement par 10. Il ne suffit pas d'observer ou d'appliquer, il faut construire le concept. Pour cela, nous plaçons l'élève dans un milieu qui va le mettre face à un problème. Trouver la solution à ce problème va permettre à l'élève de construire de nouvelles procédures, de construire de nouvelles connaissances. Dans le cas des fractions, le problème est le suivant : comment mesurer une bande lorsqu'elle ne mesure pas un nombre exact de fois la bande unité ? L'élève va devoir recourir à un pliage en deux parties égales de la bande unité, en pliant la bande unité bord à bord. Ce faisant, il aura construit une fraction de l'unité égale à la moitié de la précédente et il aura donc compris que pour mesurer, on utilise des bandes unité et des fractions de l'unité (au départ des demis, puis des quarts, …).

Si l'on fournit des fractions de disques (ou de pizzas), les fractions de l'unité (le disque) sont déjà apparentes et on place l'élève dans une situation d'observation de ces fractions de l'unité, comme on peut placer des élèves face un paquet de 10 et s'illusionner en pensant qu'il va comprendre la numération de position.

Changer d'unité et de supports matériels est important, toujours dans l'idée qu'il faut décontextualiser et recontextualiser pour construire des savoirs robustes, mais c'est aussi indispensable pour construire le concept d'unité. Néanmoins, pour les raisons que nous venons d'évoquer, il est nécessaire de commencer par le travail avec les bandes de papier.

Pourquoi proposer 6 premières situations portant sur la géométrie et la mesure ?

éléments didactiques

Pour permettre à des élèves de cycle 2 d'entrer dans ces apprentissages, il y a quelques prérequis à envisager :

• Tout d'abord, la question de la mesure à l'aide d'outils, comme une ficelle ou une bande de papier (qui deviendra une nouvelle unité de mesure), avec la capacité à mesurer une longueur par reports de bandes.
• Ensuite, il faut s'assurer que les élèves sont capables de comprendre que le pliage bord à bord d'une bande permet de partager la bande en deux parties égales et de trouver la moitié de la longueur de cette bande.

Ces éléments liés à la mesure ne forment pas une charge supplémentaire pour l'enseignant car ils représentent des domaines d'apprentissage inscrits dans les programmes du cycle 2 et qui sont nécessaires dans bien des domaines mathématiques, comme la numération ou la géométrie. Ils bénéficieront largement aux activités de construction de règles graduées, si nécessaires dans les activités de mesure, bien sûr, mais aussi en numération décimale et dans la construction du nombre décimal (dans le passage de la fraction d'un tout vers le nombre décimal).

Aussi, les premières situations proposées dans notre document ont pour objectif de faire construire aux élèves ces compétences avant de passer à des objectifs directement liés à la construction du concept de fraction. L'expérience déjà conduite dans de nombreuses classes de cycle 2 avec des enseignants de nos groupes de travail, mais aussi avec des enseignants extérieurs à ceux-ci, nous a apporté la preuve de l'utilité et de l'acceptabilité de cette entrée didactico-pédagogique.

Nous assumons donc le choix de construire une séquence basée sur la Théorie des Situations Didactiques. Notre démarche se distingue sous certains aspects de ce qui est présenté dans les "exemples de réussite" des nouveaux programmes 2025. Ainsi, nous ne limitons pas les premières situations aux fractions unitaires ou inférieures à 1.

Les situations proposées dans ce document doivent être répétées, en multipliant les exemples afin que les élèves puissent bénéficier d'une expérience forte, basée sur la manipulation et la mise à distance de fractions de l'unité. Aussi, il nous paraît important de différer l'introduction de l'écriture fractionnaire et des termes comme numérateur ou dénominateur. Ils ne seront introduits qu'une fois les concepts liés à la mesure ainsi qu'à la fraction suffisamment installés.

L'objet de la manipulation est de développer chez les élèves des représentations mentales qui vont soutenir des capacités langagières et de communication puis d'abstraction.

En ce sens, les variables déclinées dans chaque situation sont importantes. Elles constituent des étapes de la progression didactique et elles doivent faire l'objet d'une attention particulière des enseignants.

Dans ces situations, l'élève est mis en position d'anticipation. Les hypothèses qu'il émet vont être validées ou réfutées grâce à son activité manipulatoire. Ceci est rendu possible par le matériel proposé (bandes de papier, disques imprimés et fractions de disques en plastique) qui permet la comparaison par superposition ou complémentation.

Chaque situation s'appuie sur des variables didactiques qui doivent être mises en œuvre sur une ou plusieurs séances (de durées diverses). Une programmation indicative sera bientôt mise à disposition des enseignants.

Concernant la mise en forme du document

Dans chaque situation, vous pourrez rencontrer 3 cadres qui ont des objets évidents mais que nous souhaitons préciser ici :

Le matériel

Pour les situations s'appuyant sur les bandes, les annexes permettent aux enseignants de trouver les éléments à préparer pour leur classe (bandes de papier à découper). Pour les disques, nous proposons un matériel constitué de disques en plastique. Les boîtes proposées sont constitués de 20 ou 30 "kits élèves". Chaque "kit élève" comprend 7 disques en plastique transparent de 92 mm de diamètre. Dans ces situations, les élèves utilisent ces fractions de disque en plastique en relation avec des disques imprimés.

Pour les enseignants, les disques de diamètre 27 cm sont en bois et aimantés. L'écriture fractionnaire n'est visible qu'au verso, du côté des aimants.

Les disques sont découpés en fractions de l'unité (2 x 12 , 3 x 13 , 4 x 14 , 5 x 15 , 6 x 16 , 8 x 18 , 10 x 110 ).

Les kits qui peuvent être achetés dans le commerce présentent une différence majeure avec celui que nous vous proposons d'utiliser dans ces situations. Dans notre proposition, les pièces ne sont pas identifiées par des couleurs ou par leur écriture fractionnaire. C'est un élément très important qui va développer l'activité mentale liée à la reconnaissance des pièces, à leur comparaison…

Ainsi, après les situations s'appuyant sur les bandes de papier, la première situation utilisant les disques va proposer aux élèves de reconstituer les disques avec des fractions identiques. Attention, il ne faudrait pas que cela devienne un rituel à chaque début de séance, car cette activité, tout en facilitant la recherche des différentes fractions pendant la séance, priverait l'élève d'une activité mentale essentielle. Pour autant, ceci n'empêche pas un élève, lorsqu'il en à besoin, de reconstituer un disque pour vérifier qu'il a bien choisi la bonne fraction de disque (en particulier pour les fractions difficiles à discriminer).

Les ressources pédagogiques sont accessibles librement en ligne sur le site Klasma. Vous y trouverez aussi une page dédiée à la commande du matériel via notre association MATHiere à penser. A but non lucratif, elle a été créée en juin 2019 par Cyril Pasteur et Charles Perritaz, conseillers pédagogiques, pour permettre aux écoles d'acheter un matériel spécifique et plus accessible que dans le commerce.

Adresse : 2 le clos des hauts pres 25720 Pugey
Mail : mathiereapenser@free.fr
Site Internet : http://mathiereapenser.fr

Le matériel est produit par notre association partenaire :
La Fondation Pluriel (ex Adapei) propose aux travailleurs en situation de handicap mental, une activité professionnelle adaptée, dans le domaine de la sous-traitance industrielle (mécanique, assemblage, et conditionnement).

Table des situations

Situation	Titre
Situation 1	Comparer et mesurer – Notion d'étalon
Situation 2	Comparer des bandes à l'aide d'une bande unité
Situation 3	Construire et mesurer des bandes à l'aide d'une bande unité
Situation 4	Encadrer des mesures de bandes
Situation 5	Pliage et symétrie
Situation 6	Partager un segment en deux parties égales / Trouver le milieu d'un segment
Situation 7	Fabriquer une bande de même longueur à l'aide d'une bande unité
Situation 8	Reconstituér le disque unité à partir de fractions identiques de l'unité
Situation 9	Mesurer des fractions de disque imprimées et construire des égalités
Situation 10	Mesurer des fractions de disque en utilisant différentes fractions de l'unité
Situation 11	Comparer des fractions
Situation 12	Estimer des fractions
Situation 13	Savoir interpréter, représenter, écrire et lire des fractions
Situation 14	Additionner et soustraire des fractions
Situation 15	Construire une règle graduée